Question

8．已知变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤1}\\{x-y≥1}\\{y≥-2}\end{array}\right.$，则$z={log_{13}}\sqrt{{x^2}+{y^2}}$的最大值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 y=log₁₃x在其定义域上是增函数，故转化为求$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$的最大值，利用线性规划求最值即可．

解答 解：由题意作平面区域如下，

结合图象可知，
当过点A（3，-2）时，$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$取得最大值$\sqrt{9+4}$=$\sqrt{13}$，
此时$z={log_{13}}\sqrt{{x^2}+{y^2}}$有最大值log₁₃$\sqrt{13}$=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了学生的作图能力及线性规划的应用，同时考查了数形结合的思想应用及对数函数的单调性的应用．