Question

3．已知递增的等比数列{b_n}（n∈N⁺）满足b₂+b₃=80，b₁•b₄=1024，a_n=log₄b_n+1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若c_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）c_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）设等比数列{b_n}的公比为q＞1，∵b₂+b₃=80，b₁•b₄=1024，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}（q+{q}^{2}）=80}\\{{b}_{1}^{2}{q}^{3}=1024}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}=4}\\{q=4}\end{array}\right.$，
∴b_n=4ⁿ．
a_n=log₄b_n+1=n+1．
（2）c_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，
∴数列{c_n}的前n项和S_n=$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$
=$\frac{n}{2（n+2）}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．