Question

9．双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F恰好与抛物线y²=8x的焦点F重合，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则双曲线的方程为（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{36}$-$\frac{{y}^{2}}{32}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1
• D． x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1

Answer 1

分析 求出抛物线的焦点坐标，顶点双曲线方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）焦距，得到ab关系，求出P的坐标，把P点代入双曲线方程求出双曲线的标准方程．

解答 解：∵抛物线y²=8x的焦点F（2，0），
∴由题意知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（2，0），
∴a²+b²=4，
∵P是抛物线与双曲线的一个交点，|PF|=5，
∴p点横坐标x_P=3，代入抛物线y²=8x得P（3，±2$\sqrt{6}$），
把P（3，±2$\sqrt{6}$）代入双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）得$\frac{9}{{a}^{2}}-\frac{24}{{b}^{2}}=1$，整理，得a⁴-37a²+36=0，
解得a²=1，或a²=36（舍）
则b²=3，
所求双曲线方程为：x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，抛物线的简单性质的应用，是中档题，解题时要熟练掌握抛物线、双曲线的简单性质．