Question

17．不等式组$\left\{\begin{array}{l}2x+y-5≤0\\ 3x-y≥0\\ x-2y≤0\end{array}\right.$的解集记为D，$z=\frac{y+1}{x+1}$，有下面四个命题：
p₁：?（x，y）∈D，z≥1；p₂：?（x，y）∈D，z≥1
p₃：?（x，y）∈D，z≤2；p₄：?（x，y）∈D，z＜0
其中的真命题是（　　）

• A． p₁，p₂
• B． p₁，p₃
• C． p₁，p₄
• D． p₂，p₃

Answer 1

分析 画出约束条件不是的可行域，利用目标函数的几何意义，求出范围，判断选项的正误即可．

解答 解：不等式组$\left\{\begin{array}{l}2x+y-5≤0\\ 3x-y≥0\\ x-2y≤0\end{array}\right.$的可行域如图：
$z=\frac{y+1}{x+1}$的几何意义是可行域内的点与（-1，-1）连线的斜率，
可知（-1，-1）与C连线的斜率最小，与B连线的斜率最大．
$\left\{\begin{array}{l}{x-2y=0}\\{2x+y-5=0}\end{array}\right.$可得C（2，1）．
最小值为：$\frac{1+1}{2+1}$=$\frac{2}{3}$，z≥$\frac{2}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y=5}\\{3x-y=0}\end{array}\right.$，解得x=1，y=3，B（1，3）．
最大值为：$\frac{3+1}{1+1}$=2．z≤2．
可得选项p₂，p₃正确．
故选：D．

点评 本题考查线性规划的解得应用，命题的真假的判断，正确画出可行域以及目标函数的几何意义是解题的关键．