Question

11．已知函数f（x）=-x³+a²x（a∈R），若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线的倾斜角为$\frac{π}{4}$，则该切线方程为x-y+2=0．

Answer 1

分析 求出函数的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得所求切线的方程．

解答 解：函数f（x）=-x³+a²x的导数为f′（x）=-3x²+a²，
曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线的倾斜角为$\frac{π}{4}$，
可得切线的斜率为1，即有-3+a²=1，
解得a=±2．
可得f（1）=-1+4=3，即P（1，3），
即有切线的方程为y-3=x-1，即为x-y+2=0．
故答案为：x-y+2=0．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用直线的点斜式方程是解题的关键，属于基础题．