Question

3．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0）的图象过点（1，0）．
（1）记函数f（x）在[0，2]上的最大值为M，若M≤1，求a的最大值；
（2）若对任意的x₁∈[0，2]，存在x₂∈[0，2]，使得f（x₁）+f（x₂）＞$\frac{3}{2}$a，求$\frac{b}{a}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）方法一：由f（x）是开口向上的抛物线，可得：M=max{f（0），f（2）}，即$\left\{\begin{array}{l}f（0）=-a-b≤1\\ f（2）=3a+b≤1\end{array}\right.$，两式相加可得a的最大值；
方法二：$a=\frac{f（2）-2f（1）+f（0）}{2}$=$\frac{f（2）+f（0）}{2}$，结合M≤1，可得a的最大值
（2）存在${f_{min}}（x）+f（{x_2}）＞\frac{3}{2}a$，使${f_{min}}（x）+f（{x_2}）＞\frac{3}{2}a$，结合二次函数的图象和性质，分类讨论，最后综合讨论结果，可得答案．

解答 解：（1）∵f（x）过点（1，0），
∴f（1）=a+b+c=0，…（1分）
∴c=-a-b，f（x）=ax²+bx-a-b
∵f（x）是开口向上的抛物线，
∴M=max{f（0），f（2）}…（3分）
∴$M≤1?\left\{\begin{array}{l}f（0）=-a-b≤1\\ f（2）=3a+b≤1\end{array}\right.$…（5分）
两式相加得a≤1，即a的最大值为1…（6分）
解法二：由$\left\{{\begin{array}{l}{f（1）=a+b+c}\\{f（2）=4a+2b+c}\\{f（0）=c}\end{array}}\right.$
解得：$a=\frac{f（2）-2f（1）+f（0）}{2}$=$\frac{f（2）+f（0）}{2}$≤$\frac{1+1}{2}$=1 …（6分）
（2）由题意，存在${f_{min}}（x）+f（{x_2}）＞\frac{3}{2}a$，使${f_{min}}（x）+f（{x_2}）＞\frac{3}{2}a$，
∴${f_{min}}（x）+{f_{max}}（x）＞\frac{3}{2}a$…（8分）
∵a+b+c=0
∴f（x）=ax²+bx-a-b其对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$
①当$-\frac{b}{2a}＜0$，即$\frac{b}{a}＞0$时，f（x）在[0，2]上单调递增，
∴${f_{min}}（x）+{f_{max}}（x）=f（0）+f（2）=-a-b+3a+b=2a＞\frac{3}{2}a$
∴$\frac{b}{a}$＞0均符合题意                                     …（10分）
②当$0≤-\frac{b}{2a}＜1$，即$-2＜\frac{b}{a}≤0$时，
f（x）在[0，$-\frac{b}{2a}$]上递减，在[$-\frac{b}{2a}$，2]上递增且f（0）＜f（2），
∴${f}_{min}（x）+{f}_{max}（x）=f（-\frac{b}{2a}）+f（2）=-\frac{{b}^{2}}{4a}-a-b+3a+b=-\frac{{b}^{2}}{4a}+2a$
∴由$-\frac{b^2}{4a}+2a＞\frac{3}{2}a$得：$-\sqrt{2}＜\frac{b}{a}≤0$，符合题意           …（12分）
③当$1≤-\frac{b}{2a}＜2$，即$-4＜\frac{b}{a}≤-2$时，
f（x）在[0，$-\frac{b}{2a}$]上递减，在[$-\frac{b}{2a}$，2]上递增且f（0）≥f（2），
${f}_{min}（x）+{f}_{max}（x）=f（-\frac{b}{2a}）+f（0）=-\frac{{b}^{2}}{4a}-a-b-a-b=-\frac{{b}^{2}}{4a}-2a-2b$
∴由$-\frac{b^2}{4a}-2a-2b＞\frac{3}{2}a$得：$-4-\sqrt{2}＜\frac{b}{a}＜-4+\sqrt{2}$
∴$-4＜\frac{b}{a}＜-4+\sqrt{2}$符合题意                           …（13分）
④当$-\frac{b}{2a}≥2$即$\frac{b}{a}≤-4$时，f（x）在[0，2]上单调递减，
∴${f_{min}}（x）+{f_{max}}（x）=f（2）+f（0）=3a+b-a-b=2a＞\frac{3}{2}a$，
∴$\frac{b}{a}≤-4$均符合题意                                  …（14分）
综上所述：∴$\frac{b}{a}＜-4+\sqrt{2}$或$\frac{b}{a}＞-\sqrt{2}$…（15分）

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．