Question

13．在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC为正三角形，D，E分别为BC，CA的中点．
（1）在BC上求做一点F，使AD∥平面PEF，并证明你的结论；
（2）设AB=PA=2，对于（1）中的点F，求三棱锥B-PEF的体积．

Answer 1

分析 （1）取CD的中点O，连接EO，则EO∥AD，即可证明：使AD∥平面PEF；
（2）利用等体积转化，结合三棱锥的体积公式，求三棱锥B-PEF的体积．

解答 解：（1）取CD的中点O，连接EO，则EO∥AD，
∵AD?平面PEF，EO?平面PEF，
∴AD∥平面PEF；
（2）由（1），AB=2，△ABC为正三角形，可得S_△BEF=$\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×2$=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$，
∵PA⊥平面ABC，
∴三棱锥B-PEF的体积V=V_P-BEF=$\frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{3}}{8}×2$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查直线和平面平行的判定和三棱锥B-PEF的体积，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键．