Question

1．如图（a）已知线段BD=4，A，C关于BD对称，以BD为直径作圆，经过A，C两点，BA=2，延长DA，CB交于点P，将△PAB沿AB折起，使点P至点Q位置，得到图（b）所示空间图形，其中Q在平面ABCD内的射影恰为线段AD中点N，QD中点为M．
（1）求证：QD⊥平面ABM；
（2）求四棱锥M-ABCN体积．

Answer 1

分析 （1）证明QD⊥AM，QD⊥AB，利用线面垂直的判定定理，即可证明QD⊥平面ABM；
（2）由（1）可得四边形ABCN是直角梯形，AB=2，CN=3，AN=$\sqrt{3}$，求出面积，再求出M到平面ABCN的距离，即可求四棱锥M-ABCN体积．

解答 （1）证明：如图（a）BD=4，A，C关于BD对称，以BD为直径作圆，经过A，C两点，BA=2，
∴△PAB≌△DAB≌△DCB，AB⊥AD
∴图（b）中，QA=AD，
∵QD中点为M，
∴QD⊥AM，
∵Q在平面ABCD内的射影恰为线段AD中点N，
∴平面QAD⊥平面ABCD，
∵平面QAD∩平面ABCD=AD，AB⊥AD
∴AB⊥平面QAD，
∵QD?平面QAD，
∴QD⊥AB，
∵AB∩AM=A，
∴QD⊥平面ABM；
（2）解：∵Q在平面ABCD内的射影恰为线段AD中点N，
∴QA=QD，
∵QA=AD，
∴△QAD是等边三角形，
∴QN=$\frac{\sqrt{3}}{2}AD$=3，
∴M到平面ABCN的距离为$\frac{3}{2}$．
由（1）可得四边形ABCN是直角梯形，AB=2，CN=3，AN=$\sqrt{3}$，∴S_ABCN=$\frac{2+3}{2}×\sqrt{3}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∴V=$\frac{1}{3}×\frac{5\sqrt{3}}{2}×\frac{3}{2}$=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查线面垂直的判定，考查四棱锥M-ABCN体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．