Question

6．如图，在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC是边长为2的等边三角形，AE=1，CD与平面ABDE所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．
（Ⅰ）若F是线段CD的中点，证明：EF⊥面DBC；
（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积．

Answer 1

分析 （I）取BC的中点M，AB的中点N，连结AM，FM，CN，DN，则∠CDN为CD与平面ABDE所成的角，根据CN的值计算CD，得出BD．于是AE与FM均与$\frac{1}{2}$BD平行且相等．得出四边形AMFE是平行四边形，故EF∥AM，由面面垂直的性质得出AM⊥平面BCD，故EF⊥平面BCD；
（II）多面体的体积为四棱锥C-ABDE的体积，底面为直角梯形，高为CN．

解答 解：（Ⅰ）证明：取BC的中点M，AB的中点N，连结AM，FM，CN，DN
∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴CN⊥AB，CN=$\sqrt{3}$，BN=1．
∵BD⊥平面ABC，CN?平面ABC，
∴BD⊥CN，又AB?平面ABDE，BD?平面ABDE，AB∩BD=B，
∴CN⊥平面ABDE．
同理可证：AM⊥平面BCD．
∴∠CDN为CD与平面ABDE所成的角．
∴sin∠CDN=$\frac{CN}{CD}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，∴CD=2$\sqrt{2}$．∴BD=$\sqrt{C{D}^{2}-B{C}^{2}}$=2．
∵F是PC的中点，
∴FM$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}BD$=1，又AE$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}BD$．
∴四边形AMFE是平行四边形，
∴EF∥AM．
∵AM⊥面DBC，
∴EF⊥面DBC．
（Ⅱ）V_C-ABDE=$\frac{1}{3}{S}_{梯形ABDE}•CN$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（1+2）×2×\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，面面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．