Question

15．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱A₁A⊥底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A₁C₁的中点．
（Ⅰ）证明EF∥平面A₁CD；
（Ⅱ）证明平面A₁CD⊥平面A₁ABB₁；
（Ⅲ）求直线BC与平面A₁CD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （I）连结DE，可利用中位线定理和平行公理得出四边形A₁DEF为平形四边形，于是EF∥A₁D，得出结论；
（II）连结CD，由侧棱A₁A⊥底面ABC可得CD⊥A₁A，由等边三角形可得CD⊥AB，故CD⊥平面平面A₁ABB₁，于是平面A₁CD⊥平面A₁ABB₁；
（III）过点B作BG⊥A₁D交A₁D延长线于点G，连接CG，则由面面垂直的性质得出BG⊥平面A₁CD，故而∠BCG为直线BC与平面A₁CD所成的角，设棱柱棱长为2，利用相似三角形和勾股定理求出BG，CG即可得出答案．

解答 证明：（I）连结DE，
∵D，E，F分别是AB，BC，A₁C₁的中点，且三棱柱各棱长相等，
∴DE$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}AC$，A₁F$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AC，
∴DE$\stackrel{∥}{=}$A₁F，
∴四边形A₁DEF为平形四边形，
∴EF∥A₁D，
又EF?平面A₁CD，A₁D?平面A₁CD，
∴EF∥平面A₁CD．
（II）连结CD．
∵△ABC是正三角形，D为AB的中点，
∴CD⊥AB．
又∵侧棱A₁A⊥底面ABC，CD?平面ABC，
∴CD⊥A₁A．
又A₁A?平面A₁ABB₁，AB?平面A₁ABB₁，A₁A∩AB=A，
∴CD⊥平面A₁ABB₁．∵CD?平面A₁CD，
∴平面A₁CD⊥平面A₁ABB₁．
（III）在平面A₁ABB₁内，过点B作BG⊥A₁D交A₁D延长线于点G，连接CG，
∵平面A₁CD⊥平面A₁ABB₁，平面A₁CD∩平面A₁ABB₁=A₁D，BG⊥A₁D，BG?平面A₁ABB₁，
∴BG⊥平面A₁CD．
∴∠BCG为直线BC与平面A₁CD所成的角．
设三棱柱棱长为2，则CD=$\sqrt{3}$．
由Rt△A₁AD∽RtBGD可得$\frac{{A}_{1}A}{BG}=\frac{AD}{DG}=\frac{{A}_{1}D}{BD}=\frac{\sqrt{5}}{1}$=$\sqrt{5}$．
∴BG=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，DG=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴CG=$\sqrt{C{D}^{2}+D{G}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
∴tan∠BCG=$\frac{BG}{CG}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了线面平行，面面垂直的判定，线面角的计算，属于中档题．