Question

7．已知三棱锥O-ABC底面ABC的顶点在半径为4的球O表面上，且AB=6，BC=2$\sqrt{3}$，AC=4$\sqrt{3}$，则三棱锥O-ABC的体积为（　　）

• A． 4$\sqrt{3}$
• B． 12$\sqrt{3}$
• C． 18$\sqrt{3}$
• D． 36$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由勾股定理的逆定理得出AB⊥BC，故O在底面ABC上的投影为斜边AC的中点，利用勾股定理计算出棱锥的高，代入体积公式计算．

解答 解：∵AB=6，BC=2$\sqrt{3}$，AC=4$\sqrt{3}$，
∴AB²+BC²=AC²，
∴AB⊥BC．
过O作OD⊥平面ABC，则D为AC的中点．
∴OD=$\sqrt{O{A}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-（2\sqrt{3}）^{2}}$=2．
∴V_O-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•OD$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×6×2\sqrt{3}×2$=4$\sqrt{3}$．
故选A．

点评 本题考查了棱锥与球的关系，棱锥的体积计算，属于中档题．