Question

4．某校从高二年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），[90，100]后得到如图的频率分布直方图．
（1）求图中实数a的值；
（2）若该校高二年级共有学生640人，试估计该校高二年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；
（3）若从数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．

Answer 1

分析 （1）根据阴影矩形的面积之和等于1，计算a的值；
（2）首先计算成绩不低于60分的频率，即后四个小矩形的面积和，然后用640×频率计算人数；
（3）若两名学生的学生成绩之差的绝对值不大于10，即两人是同一组的学生，那么首先计算两组的人数，并编号，并以编号的形式列出所有选取2人的基本事件的个数，同时计算同一组的两个人的所有基本事件的个数，最后相除得到概率．

解答 （1）解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1，
∴10×（0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01）=1．
解得a=0.03．
（2）解：根据频率分布直方图，成绩不低于6（0分）的频率为
1-10×（0.005+0.01）=0.85．
由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，
可估计该校高一年级数学成绩不低于6（0分）的人数约为640×0.85=544人．
（3）解：成绩在[40，50）分数段内的人数为40×0.05=2人，分别记为A，B．
成绩在[90，100]分数段内的人数为40×0.1=4人，分别记为C，D，E，F．（7分）
若从数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，
则所有的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），
（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）共15种．（9分）
如果两名学生的数学成绩都在[40，50）分数段内或都在[90，100]分数段内，
那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10．
如果一个成绩在[40，50）分数段内，另一个成绩在[90，100]分数段内，
那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．
记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，
则事件M包含的基本事件有：
（A，B），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）共7种．
所以所求概率为P（M）=$\frac{7}{15}$．

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．