Question

1．已知二次函数y=g（x）的导函数的图象与直线y=2x平行，且y=g（x）在x=-1处取得极小值-5．
（1）求二次函数y=g（x）的解析式；
（2）设f（x）=x•g（x），求函数y=f（x），x∈[-3，1]的最值．

Answer 1

分析 （1）设g（x）=ax²+bx+c，根据导数与函数的极值的关系列方程组解出a，b，c；
（2）求出f（x）的解析式，利用导数判断f（x）在[-3，1]上的单调性，求出f（x）的极值和端点函数值，得出最值．

解答 解：（1）设g（x）=ax²+bx+c，则g′（x）=2ax+b，
∵g′（x）的图象与y=2x平行，
∴a=1，
∵y=g（x）在x=-1处取得极小值-5，
∴g′（-1）=-2+b=0，解得b=2．
g（-1）=1-2+c=-5，解得c=-4．
∴g（x）=x²+2x-4．
（2）f（x）=x（x²+2x-4）=x³+2x²-4x．
f′（x）=3x²+4x-4，
令f′（x）=0，解得x=$\frac{2}{3}$或x=-2．
当-3≤x＜-2时，f′（x）＞0，当-2＜x＜$\frac{2}{3}$时，f′（x）＜0，当$\frac{2}{3}$＜x≤1时，f′（x）＞0．
∴f（x）在[-3，-2]上单调递增，在（-2，$\frac{2}{3}$）上单调递减，在[$\frac{2}{3}$，1]上单调递增．
∴当x=-2时，f（x）取得极大值f（-2）=8，当x=$\frac{2}{3}$时，f（x）取得极小值f（$\frac{2}{3}$）=-$\frac{40}{27}$．
又f（-3）=3，f（1）=-1．
∴f（x）在[-3，1]上的最大值为8，最小值为-$\frac{40}{27}$．

点评 本题考查了导数与函数单调性，函数极值的关系，属于中档题．