Question

16．${∫}_{-1}^{1}$（$\sqrt{16-（x+3）^{2}}$+$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$-x²）dx=$\frac{8π}{3}-2\sqrt{3}-\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 首先利用定积分的运算法则写成各部分定积分的和，然后分别利用定积分的几何意义，函数奇偶性以及求原函数的方法求定积分值．

解答 解：${∫}_{-1}^{1}$（$\sqrt{16-（x+3）^{2}}$+$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$-x²）dx=${∫}_{-1}^{1}\sqrt{16-（x+3）^{2}}dx$+${∫}_{-1}^{1}\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}dx-{∫}_{-1}^{1}{x}^{2}dx$
=（$\frac{1}{6}π×{4}^{2}-\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}$）+0-$\frac{1}{3}{x}^{3}{|}_{-1}^{1}$
=$\frac{8}{3}π-2\sqrt{3}-\frac{2}{3}$；
故答案为：$\frac{8}{3}π-2\sqrt{3}-\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了定积分的计算；分别利用了定积分的运算法则以及利用几何意义求定积分、函数的奇偶性；关键是正确找出被积函数的原函数．