Question

6．如图，某构件是由编号1、2、…、k（k∈N^*且k≥3）的有限个圆柱自下而上组成的，其中每一个圆柱的高与其底面圆的直径相等，且对于任意两个相邻圆柱，上面圆柱的高是下面圆柱的高的一半，设编号1的圆柱的高为4．
（1）分别求编号1、编号2的圆柱的体积V₁、V₂；
（2）写出编号n（n=1，2，…，k）的圆柱的体积V_n关于n的表达式（不必证明）；
（3）求该构件的体积．

Answer 1

分析 （1）代入体积公式计算即可；
（2）利用等比数列的知识求出编号为n的圆柱的底面半径和高，代入体积公式计算；
（3）各圆柱的体积组成一个等比数列，则几何体的体积为等比数列的前k项和．

解答 解：（1）V₁=π×2²×4=16π，V₂=π×1²×2=2π，
（2）设编号为n的圆柱的高为h_n，则数列{h_n}为以4为首项，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
∴h_n=4×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$=$\frac{1}{{2}^{n-3}}$．∴编号为n的圆柱的底面半径为$\frac{1}{{2}^{n-2}}$．
∴V_n=$π×（\frac{1}{{2}^{n-2}}）^{2}×\frac{1}{{2}^{n-3}}$=$\frac{1}{{2}^{3n-7}}π$．
（3）∵$\frac{{V}_{n+1}}{{V}_{n}}$=$\frac{π}{{2}^{3（n+1）-7}}×\frac{{2}^{3n-7}}{π}$=$\frac{1}{8}$，
∴数列{V_n}是以16π为首项，以$\frac{1}{8}$为公比的等差数列，
∴几何体的体积为S_k=$\frac{16π（1-\frac{1}{{8}^{k}}）}{1-\frac{1}{8}}$=$\frac{128π}{7}$（1-$\frac{1}{{8}^{k}}$）．

点评 本题考查了圆柱的体积计算，等比数列的应用，属于中档题．