Question

11．在△ABC中，三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量$\overrightarrow{p}$=（b+a，c），向量$\overrightarrow{q}$=（b-c，b-a），且$\overrightarrow{p}$∥$\overrightarrow{q}$．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）若sinB•sinC=$\frac{3}{4}$，判定△ABC的形状．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据向量共线的等价条件，建立方程关系，结合余弦定理进行求解即可．
（Ⅱ）根据两角和差的余弦公式进行化简即可．

解答 解：（Ⅰ）∵向量$\overrightarrow{p}$=（b+a，c），向量$\overrightarrow{q}$=（b-c，b-a），且$\overrightarrow{p}$∥$\overrightarrow{q}$．
∴（b+a）（b-a）-c（b-c）=0．
即b²-a²-bc+c²=0，
b²+c²-a²=bc，
则cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
则A=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）若sinB•sinC=$\frac{3}{4}$，
cosA=-cos（B+C）=-cosBcosC+sinBsinC，
即$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{4}$-cosBcosC，
则cosBcosC=$\frac{1}{4}$，
则cosB＞0，cosC＞0，
即B，C是锐角，
则△ABC的形状为锐角三角形．

点评 本题主要考查解三角形的应用，利用向量共线的等价条件，结合余弦定理以及两角和差的余弦公式是解决本题的关键，考查学生的运算能力．