Question

16．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是正三角形，点D是A₁B₁中点，AC=2，CC₁=$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求三棱锥C-BDC₁的体积；
（Ⅱ）证明：A₁C⊥BC₁．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用${V_{C-BD{C_1}}}={V_{D-BC{C_1}}}$，求三棱锥C-BDC₁的体积；
（Ⅱ）取C₁B₁的中点E，连接A₁E，CE．通过证明$BC_1^{\;}⊥$面A₁CE，证明：A₁C⊥BC₁．

解答 （Ⅰ）解：过D作DH⊥C₁B₁，直三棱柱中C₁B₁⊥面A₁B₁C₁，∴C₁B₁⊥DH，∴DH⊥面BCC₁，
∴DH是高，DH=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，…（3分）
∵${S_{△BC{C_1}}}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}=\sqrt{2}$，
∴${V_{C-BD{C_1}}}={V_{D-BC{C_1}}}=\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}×\sqrt{2}=\frac{{\sqrt{6}}}{6}$•…（6分）
（Ⅱ）证明：取C₁B₁的中点E，连接A₁E，CE
∵底面是正三角形，∴A₁E⊥B₁C₁•…（8分）
矩形C₁B₁BC中，Rt△C₁CE中，${C_1}C=\sqrt{2}，{C_1}E=1$，
Rt△BCC₁中，$BC=2，C{C_1}=\sqrt{2}$，∴$\frac{{{C_1}C}}{BC}=\frac{{{C_1}E}}{{C{C_1}}}$，
∴△C₁CE∽△BCC₁，∴∠C₁BC=∠EC₁C，
∵$∠{C_1}BC+∠B{C_1}C={90^0}$，∴$∠EC{C_1}+∠B{C_1}C={90^0}$，∴CE⊥BC₁•…（10分）
∴$BC_1^{\;}⊥$面A₁CE，∴A₁C⊥BC₁•…（12分）

点评 本题考查线面垂直的判定定理与性质、空间几何体的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．