Question

8．如图，四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，△PAD为等腰三角形，∠APD=90°，平面PAD⊥平面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分别为PC、AB的中点
（Ⅰ）证明：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）证明：PA⊥平面PCD；
（Ⅲ）求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PD的中点G，连接AG，GE，证明AEFG为平行四边形，确定出EF∥GA，运用判断定理可证明；
（Ⅱ）证明CD⊥PA，PA⊥PD，运用线面垂直的定理可证明；
（Ⅲ）取AD中点O，连接PO，确定PO为四棱锥P-ABCD的高，求出PO=1，运用体积公式V=$\frac{1}{3}×$PO×AB×AD求解即可．

解答 （Ⅰ）证明：取PD的中点G，连接AG，GE．
∵△PAD中，G，E分别为PD，PC的中点，∴GE∥CD，GE=$\frac{1}{2}$CD，
∵E、F分别为PC、AB的中点
∴AF∥CD，AF=$\frac{1}{2}$CD，
∴AF∥GE，AF=GE，
∴AEFG为平行四边形，
∴EF∥GA，
∵EF?面PAD，PA?面PAD，
∴EF∥面PAD．
（Ⅱ）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，CD⊥AD，面PAD∩面ABCD=AD，∴CD⊥面PAD，
∵PA?面PAD，∴CD⊥PA，
∵∠APD=90°，
∴PA⊥PD，
∵CD∩PD=D，
∴PA⊥平面PCD；
（Ⅲ）取AD中点O，连接PO，
∵平面PAD⊥平面ABCD及△PAD为等腰直角三角形，∴PO⊥面ABCD，
即PO为四棱锥P-ABCD的高．
∵AD=2，∴PO=1，
∴V=$\frac{1}{3}×$PO×AB×AD=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了空间直线，平面的垂直，平行问题，求解几何体的体积，属于中档题，关键是运用好定理，抓住条件．