Question

3．正方形ABCD的边长为a，PA⊥平面ABCD，PA=a，则直线PB与平面PAC所成的角为30°．

Answer 1

分析 设AC，BD交于点O，连结PO，则可证BD⊥平面PAC，故而∠BPO为所求角，利用勾股定理求出OB，PB即可得出sin∠BPO．

解答 解：连结AC，BD交于点O，连结OP，
∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD，
∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
又PA?平面PAC，AC?平面PAC，PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC，
∴∠BPO为PB与平面PAC所成的角．
∵四边形ABCD是正方形，AB=PA=a，
∴OB=$\frac{1}{2}BD$=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，PB=$\sqrt{2}a$，
∴sin∠BPO=$\frac{OB}{PB}$=$\frac{1}{2}$．
∴∠BPO=30°．
故答案为：30°．

点评 本题考查了线面垂直的判定，线面角的计算，属于中档题．