如图.已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直.AA1=AB=AC=2.BC=2$\sqrt{2}$.M.N分别是CC1.BC的中点.点P在直线A1B1上.且$\overrightarrow{{A 1}P}=λ\overrightarrow{{A 1}{B 1}}$．(Ⅰ)证明:无论λ取何值.总有AM⊥PN,(Ⅱ)当λ取何值时.直线PN与平面ABC所成的角θ最大?并求该角取最大值时的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

15．

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AA₁=AB=AC=2，BC=2$\sqrt{2}$，M，N分别是CC₁，BC的中点，点P在直线A₁B₁上，且$\overrightarrow{{A_1}P}=λ\overrightarrow{{A_1}{B_1}}$．
（Ⅰ）证明：无论λ取何值，总有AM⊥PN；
（Ⅱ）当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？并求该角取最大值时的正切值．

分析（I）建立空间直角坐标系，求出$\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{PN}$的坐标，只需证明$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{PN}=0$即可；
（II）显然平面ABC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），根据sinθ=|cos＜$\overrightarrow{PN}$，$\overrightarrow{m}$＞|求出sinθ的最大值，利用同角三角函数的关系求出tanθ．

解答证明：（I）∵AB=AC=2，$BC=2\sqrt{2}$，∴AB²+AC²=BC²，
∴AB⊥AC，即AB、AC、AA₁两两相互垂直．
以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
则A₁（0，0，2），B₁（2，0，2），M（0，2，1），N（1，1，0）．
∵$\overrightarrow{{A_1}P}=λ\overrightarrow{{A_1}{B_1}}$，∴P（2λ，0，2），∴$\overrightarrow{PN}$=（1-2λ，1，-2）.$\overrightarrow{AM}=（0，2，1）$，
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{PN}=（1-2λ）×0+1×2+（{-2}）×1=0$．
∴无论λ取何值，AM⊥PN．
（Ⅱ）∵$\overrightarrow m$=（0，0，1）是平面ABC的一个法向量．
∴$sinθ=|{cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow{PN}＞}|$=$\frac{|0+0-2|}{{\sqrt{{{（1-2λ）}^2}+1+4}}}=\frac{2}{{\sqrt{{{（2λ-1）}^2}+5}}}$．
∴当λ=$\frac{1}{2}$时，θ取得最大值，
此时sinθ=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，cosθ=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，tanθ=2．

点评本题考查了空间角的计算，空间中垂直关系的判断，属于中档题．

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A．

$\frac{1}{3}$

B．

$\frac{2}{3}$

C．

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D．

$\frac{\sqrt{3}}{2π}$

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