Question

4．已知正四棱锥P-ABCD的所有顶点都在球O上，且AB=a，侧棱长为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$，则球O的体积为$\frac{\sqrt{3}{a}^{3}}{2}$．

Answer 1

分析 根据几何体的性质，转化为平面问题，利用勾股定理求解得出球的半径．

解答 解：∵AB=a，侧棱长为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$，
∴O′A=$\frac{\sqrt{2}a}{2}$，O′A=O′B，
∴（$\frac{\sqrt{3}a}{2}$）²=（$\frac{\sqrt{2}a}{2}$）²+O′P²，O′P=$\frac{1}{2}a$，
∵设球的球心O，半径R，
∴R²=（$\frac{\sqrt{2}a}{2}$）²+（R-$\frac{a}{2}$）²，
R=$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，
∴球O的体积为：$\frac{4π×（\frac{\sqrt{3}a}{2}）^{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}{a}^{3}}{2}$
故答案为：$\frac{\sqrt{3}{a}^{3}}{2}$

点评 本题考查球O的体积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键，比较基础