Question

6．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面梯形ABCD中，AB∥DC，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=4，AB=2DC=2BC=2$\sqrt{5}$，$\overrightarrow{PM}$=m$\overrightarrow{MC}$，且m＞0．
（1）求证：平面PAD⊥平面MBD；
（2）求二面角A-PB-D的余弦值；
（3）试确定m的值，使三棱锥P-ABD体积为三棱锥P-MBD体积的3倍．

Answer 1

分析 （1）利用线面垂直的判定定理证明BD⊥平面PAD，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面PAD⊥平面MBD；
（2）法一：求出平面PAB，平面PBD的法向量，利用公式求二面角A-PB-D的余弦值；法二：过A作AE⊥PD交PD于E，则AE⊥平面PBD，再过E作EF⊥PB交PB于F，连结AF，则∠AFE就是二面角A-PB-D的平面角，即可求解；
（3）根据三棱锥P-ABD体积为三棱锥P-MBD体积的3倍，利用体积公式建立方程，确定m的值．

解答 （1）证明：在△ABD中，由于$AD=2，BD=4，AB=2\sqrt{5}$，
∴AD²+BD²=AB²，故AD⊥BD．
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥平面PAD，又BD?平面MBD，故平面MBD⊥平面PAD
（2）解：法一、如图建立D-xyz空间直角坐标系，D（0，0，0），A（2，0，0）
$P（1，0，\sqrt{3}），B（0，4，0），\overrightarrow{BP}=（1，-4，\sqrt{3}），\overrightarrow{AB}=（-2，4，0）$，$\overrightarrow{DB}=（0，4，0）$
设平面PAB的法向量$\overrightarrow n=（{{x_1}，{y_1}，{z_1}}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{AB}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{BP}=0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}-2{x_1}+4{y_1}=0\\{x_1}-4{y_1}+\sqrt{3}{z_1}=0\end{array}\right.$
令${y_1}=1，则{x_1}=2，{z_1}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，∴$\overrightarrow n=（{2，1，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}）$．
设平面PBD的法向量$\overrightarrow m=（{{x_2}，{y_2}，{z_2}}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow m•\overrightarrow{DB}=0\\ \overrightarrow m•\overrightarrow{BP}=0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}4{y_2}=0\\{x_2}-4{y_2}+\sqrt{3}{z_2}=0\end{array}\right.$，令${x_2}=-\sqrt{3}$，
∴$\overrightarrow m=（{-\sqrt{3}，0，1}）$$cos\left?{\overrightarrow n，\overrightarrow m}\right＞=\frac{{|{\overrightarrow n•\overrightarrow m}|}}{{|{\overrightarrow n}|•|{\overrightarrow m}|}}=\frac{{2\sqrt{19}}}{19}$，∴二面角A-PB-D的余弦值为$\frac{{2\sqrt{19}}}{19}$
法二、由（1）知BD⊥平面PAD，所以平面PBD⊥平面PAD
过A作AE⊥PD交PD于E，则AE⊥平面PBD，再过E作EF⊥PB交PB于F，连结AF，则∠AFE就是二面角A-PB-D的平面角．
由题设得$AE=\sqrt{3}，EF=\frac{2}{{\sqrt{5}}}$由勾股定理得：$AF=\sqrt{A{E^2}+E{F^2}}=\sqrt{\frac{19}{5}}$
所以$cos∠AFE=\frac{EF}{AF}=\frac{2}{{\sqrt{19}}}=\frac{{2\sqrt{19}}}{19}$．∴二面角A-PB-D的余弦值为$\frac{{2\sqrt{19}}}{19}$
（3）V_P-MBD=V_M-PBD=$\frac{m}{m+1}{V_{C-PBD}}=\frac{m}{m+1}{V_{P-BCD}}$，
∴$\frac{{{V_{P-ABD}}}}{{{V_{P-MBD}}}}=\frac{m+1}{m}•\frac{{{V_{P-ABD}}}}{{{V_{P-BCD}}}}=\frac{m+1}{m}•\frac{{{S_{△ABD}}}}{{{S_{△BCD}}}}=\frac{m+1}{m}•2=3⇒m=2$…12分．

点评 本题考查线面、面面垂直的判定，考查二面角A-PB-D的余弦值，考查体积的计算，考查学生的推理能力，综合性强．