Question

15．已知α-β=$\frac{π}{3}$，且cosα-cosβ=$\frac{1}{3}$，则cos（α+β）=（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{7}{9}$
• D． $\frac{8}{9}$

Answer 1

分析 用β表示α，代入条件式得出sin（$β+\frac{π}{6}$），而cos（α+β）=cos（2β$+\frac{π}{3}$），使用二倍角公式即可求出答案．

解答 解：∵α-β=$\frac{π}{3}$，∴$α=β+\frac{π}{3}$，
∵cosα-cosβ=$\frac{1}{3}$，即cos（$β+\frac{π}{3}$）-cosβ=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{1}{2}$cosβ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinβ=-$\frac{1}{3}$，即sin（$β+\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{3}$．
∴cos（α+β）=cos（α-β+2β）=cos（2β$+\frac{π}{3}$）=cos2（$β+\frac{π}{6}$）=1-2sin²（$β+\frac{π}{6}$）=1-2×（-$\frac{1}{3}$）²=$\frac{7}{9}$．
故选：C．

点评 本题考查了两角和差的余弦函数，二倍角公式，根据角的特点选择合适的三角公式是解决本题的难点．