Question

15．某兴趣小组测量渡江战役纪念馆前的胜利之塔的高度H（单位：m）如示意图，垂直放置的标杆BC高度h=2m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β．
（Ⅰ）该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.21，tanβ=1.17，请据此算出H的值；
（Ⅱ）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到胜利之塔的距离d（单位：m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若胜利之塔的实际高度为60m，试问d为多少时，α-β最大？

Answer 1

分析 （I）根据三角函数的定义用H，h，tanα，tanβ表示出AD，BD，AB，根据AD-AB=DB列方程解出H．
（II）根据两角差的正切公式得出tan（α-β）关于H，h，d的函数关系式，使用基本不等式求出tan（α-β）取得最大值的条件．

解答 解：（I）∵tanβ=$\frac{H}{AD}$=$\frac{h}{BD}$，tanα=$\frac{H}{AB}$，
∴AD=$\frac{H}{tanβ}$，BD=$\frac{h}{tanβ}$，AB=$\frac{H}{tanα}$．
∵AD-AB=DB，∴$\frac{H}{tanβ}-\frac{H}{tanα}=\frac{h}{tanβ}$，
解得：$H=\frac{htanα}{tanα-tanβ}=\frac{2×1.21}{1.21-1.17}=60.5（m）$．
∴胜利塔的高度H是60.5m．
（II）∵tanα=$\frac{H}{d}$，tanβ=$\frac{H}{AD}=\frac{h}{BD}=\frac{H-h}{d}$，
∴tan（α-β）=$\frac{tanα-tanβ}{1+tanα•tanβ}$=$\frac{\frac{H}{d}-\frac{H-h}{d}}{1+\frac{H}{d}•\frac{H-h}{d}}$=$\frac{hd}{{d}^{2}+H（H-h）}=\frac{h}{d+\frac{H（H-h）}{d}}$．
∵d+$\frac{H（H-h）}{d}$≥2$\sqrt{H（H-h）}$，
（当且仅当d=$\sqrt{H（H-h）}$=$\sqrt{60×58}$=2$\sqrt{870}$时取等号）
∵0＜β＜α＜$\frac{π}{2}$，则0＜α-β＜$\frac{π}{2}$，
∴故当$d=2\sqrt{870}$时，tan（α-β）最大．

点评 本题考查了解三角形的实际应用，三角函数的定义，基本不等式的应用，属于中档题．