Question

13．如图，已知P是以F₁（-1，0），以4为半径的圆上的动点，P与F₂（1，0）所连线段的垂直平分线与线段PF₁交于点M．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）已知点E坐标为（4，0），直线l经过点F₂（1，0）并且与曲线C相交于A，B两点，求△ABE面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据题意，|MP|=|MF₂|，则|MF₁|+|MF₂|=|MF₁|+|MP|=4＞|F₁F₂|，故M的轨迹C是以F₁，F₂为焦点，长轴长为4的椭圆，从而可求动点M的轨迹C的方程．
（2）设直线l的方程为x=my+1，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），与椭圆方程联立化为（3m²+4）y²+6my-9=0，再利用弦长公式与点到直线的距离公式即可得出．

解答 解：（1）根据题意，|MP|=|MF₂|，
则|MF₁|+|MF₂|=|MF₁|+|MP|=4＞|F₁F₂|，
故M的轨迹C是以F₁，F₂为焦点，长轴长为4的椭圆，a=2，c=1，
所以b=$\sqrt{3}$，
所以点M的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）设直线l的方程为x=my+1，代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
可得3（my+1）²+4y²=12，
∴（3m²+4）y²+6my-9=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=-$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{9}{3{m}^{2}+4}$，
∴E到直线l的距离为d=$\frac{3}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$|y₁-y₂|
∴△ABE面积S=$\frac{1}{2}•$$\frac{3}{\sqrt{1+{m}^{2}}}•$$\sqrt{1+{m}^{2}}$|y₁-y₂|=18$\sqrt{\frac{{m}^{2}+1}{（3{m}^{2}+4）^{2}}}$，
设3m²+4=t（t≥4），则S=18$\sqrt{\frac{{m}^{2}+1}{（3{m}^{2}+4）^{2}}}$=18$\sqrt{\frac{t-1}{{3t}^{2}}}$=18$\sqrt{-\frac{1}{3}（\frac{1}{t}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{12}}$，
∵t≥4，
∴t=4，m=0时，△ABE面积的最大值为$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查椭圆的定义与方程、直线与椭圆相交弦长问题、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于属于中档题，确定M的轨迹C是以F₁，F₂为焦点，长轴长为4的椭圆关键．