Question

20．过球O表面上一点A引三条长度相等的弦AB、AC、AD，且两两夹角都为60°，若球半径为R，求弦AB的长度$\frac{2\sqrt{6}}{3}$R．

Answer 1

分析 由条件可抓住A-BCD是正四面体，A，B，C，D为球上四点，则球心在正四面体中心，利用勾股定理建立方程，即可求出弦AB的长度．

解答 解：由题意，球心在正四面体中心，设AB=a，则截面BCD与球心的距离d=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a-R，过点B、C、D的截面圆半径r=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
所以（$\frac{\sqrt{3}}{3}$a）²=R²-（$\frac{\sqrt{6}}{3}$a-R）²，得a=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$R．
故答案为：$\frac{2\sqrt{6}}{3}$R．

点评 本题考查球的内接几何体，考查勾股定理，考查学生的计算能力，关键就是确定出球心的位置．