定义在R上的函数同时满足以下条件:
①在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数;
②是偶函数;
③在x=0处的切线与直线y=x+2垂直.
(1)求函数的解析式;
(2)设g(x)=,若存在实数x∈[1,e],使g(x)<,求实数m的取值范围。
(1) f(x)=x3 x+3, (2) m>2e e3
解析试题分析:(1)三个条件,三个未知数,本题就是通过条件列方程组解参数,第一个条件说的是单调性,实质是导数,即,3a+2b+c=0;第二个条件是函数的奇偶性,利用恒成立即可,b=0;第三个条件是导数几何意义,即, c= 1 ;因此;(2)存在型问题,转化为函数最值,首先进行变量分离,即m>xlnx x3+x,然后求函数M(x)=xlnx x3+x在[1,e]上最小值,这又要利用导数研究函数M(x)在[1,e]上的单调性,分析得为M(x)在[1,e]上递减,所以M(x)最小值为M(e)=2e e3于是有m>2e e3
试题解析:解:(1)f′(x)=3ax2+2bx+c,∵f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,
∴f′(1)=3a+2b+c=0 ①
由f′(x)是偶函数得:b=0 ②
又f(x)在x=0处的切线与直线y=x+2垂直,f′(0)=c= 1 ③
由①②③得:a=,b=0,c= 1,即. 4分
(2)由已知得:存在实数x∈[1,e],使lnx <x2 1
即存在x∈[1,e],使m>xlnx x3+x 6分
设M(x)=xlnx x3+x,x∈[1,e],则M′(x)=lnx 3x2+2 8分
设H(x)=lnx 3x2+2,则H′(x)= 6x= 10分
∴M(x)在[1,e]上递减,
∵x∈[1,e],∴H′(x)<0,即H(x)在[1,e]上递减
于是,H(x)≤H(1),即H(x)≤ 1<0,即M′(x)<0
∴M(x)≥M(e)=2e e3
于是有m>2e e3为所求. 12分
考点:导数在函数中的应用
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数(其中为自然对数的底数).
(1)求函数的单调区间;
(2)定义:若函数在区间上的取值范围为,则称区间为函数的“域同区间”.试问函数在上是否存在“域同区间”?若存在,求出所有符合条件的“域同区间”;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R).
(1)讨论函数f(x)的单调区间;
(2)若函数g(x)=且g(x)≤1恒成立,求实数a的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知a∈R,函数f(x)=+ln x-1.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)求f(x)在区间(0,e]上的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
若函数在上为增函数(为常数),则称为区间上的“一阶比增函数”,为的一阶比增区间.
(1) 若是上的“一阶比增函数”,求实数的取值范围;
(2) 若 (,为常数),且有唯一的零点,求的“一阶比增区间”;
(3)若是上的“一阶比增函数”,求证:,
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设函数f(x)=ln x+x2-(a+1)x(a>0,a为常数).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若a=1,证明:当x>1时,f(x)< x2--.
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