Question

【题目】在数列{an}中，a1=2，an+1=4an﹣3n+1，n∈N*（Ⅰ）证明：数列{an﹣n}是等比数列
（Ⅱ）记数列{an}的前n项和为Sn ， 求证：Sn+1≤4Sn ， 对任意n∈N*成立．

Answer 1

【答案】证明：（I）∵an+1=4an﹣3n+1，∴an+1﹣（n+1）=4（an﹣n），a1﹣1=1． ∴数列{an﹣n}是等比数列，首项为1，公比为4．
（II）由（I）可得：an﹣n=4n﹣1 ， 解得an=n+4n﹣1 ，
Sn= + = + ．
Sn+1= + ．
∴4Sn﹣Sn+1=4× +4× ﹣ ﹣ = ﹣1= ≥0．
∴Sn+1≤4Sn ， 对任意n∈N*成立．
【解析】（I）由an+1=4an﹣3n+1，变形an+1﹣（n+1）=4（an﹣n），a1﹣1=1．即可证明．（II）由（I）可得：an﹣n=4n﹣1 ， 解得an=n+4n﹣1 ， 利用等差数列与等比数列的求和公式可得：Sn ， Sn+1 ． 作差4Sn﹣Sn+1即可得出．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用等比数列的通项公式（及其变式）的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握通项公式：．