Question

【题目】已知坐标平面上点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离之比等于5．
（1）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）记（1）中的轨迹为C，过点A（﹣2，3）的直线l被C所截得的线段的长为8，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意坐标平面上点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离之比等于5，

得 =5. ，化简得x2+y2﹣2x﹣2y﹣23=0．

即（x﹣1）2+（y﹣1）2=25．

∴点M的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=25，

所求轨迹是以（1，1）为圆心，以5为半径的圆

（2）解：当直线l的斜率不存在时，过点A（﹣2，3）的直线l：x=﹣2，

此时过点A（﹣2，3）的直线l被圆所截得的线段的长为：2 =8，

∴l：x=﹣2符合题意．

当直线l的斜率存在时，设过点A（﹣2，3）的直线l的方程为y﹣3=k（x+2），即kx﹣y+2k+3=0，

圆心到l的距离d= ，

由题意，得 +42=52，解得k= ．∴直线l的方程为 x﹣y+ =0．即5x﹣12y+46=0．

综上，直线l的方程为x=﹣2，或5x﹣12y+46=0

【解析】（1）直接利用距离的比，列出方程即可求点M的轨迹方程，然后说明轨迹是什么图形；（2）设出直线方程，利用圆心到直线的距离，半径与半弦长满足的勾股定理，求出直线l的方程．
【考点精析】解答此题的关键在于理解点到直线的距离公式的相关知识，掌握点到直线的距离为：．