Question

下列命题中所有正确的命题是：______．
（1）不同的两个数a，b的等差中项A的绝对值必大于它们的等比中项G的绝对值．（等差中项A，等比中项G均存在）
（2）无穷等差数列中有三项是13，25，41，则2013一定是此数列中的一项．
（3）等比数列{a_n}中所有项均为正数，并且公比q≠1，则a₂+a₆＞a₃+a₅．
（4）对任何数列{a_n}（n≥3），都存在一个等差数列{x_n}与一个等比数列{y_n}，使得对任何n∈N^*，a_n=x_n+y_n．

Answer 1

若两个数a，b存在等比中项G，则这两个数同号，由基本不等式易得（1）成立，
若无穷等差数列是首项41的递减数列，则满足无穷等差数列中有三项是13，25，41，但2013必不为数列中的某项，故（2）错误；
等比数列{a_n}中所有项均为正数，则q＞0，则a₂+a₆=a₂（1+q⁴），a₃+a₅=a₂（q+q³），
∵（1+q⁴）-（q+q³）=（1-q）²（q²+q+1）＞0恒成立，故a₂+a₆＞a₃+a₅，即（3）正确