Question

假设a₁，a₂，a₃，a₄是一个等差数列，且满足0＜a₁＜2，a₃=4．若b_n=2^a_n（n=1，2，3，4）．给出以下命题：
①数列{b_n}是等比数列；
②b₂＞4；
③b₄＞32；
④b₂b₄=256．
其中正确命题的个数是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

根据题意，得
对于①，∵a₁，a₂，a₃，a₄是一个等差数列，
设公差为d，则a_n=a₁+（n-1）d，（n=1，2，3，4）；
∴b_n=2an=2a1+(n-1)d=2a1•（2^d）^n-1，（n=1，2，3，4），
∴{b_n}是首项为2a1，公比为2^d的等比数列．∴命题①正确．
对于②，∵在等差数列{a_n}中，0＜a₁＜2，a₃=4，
∴a₂=

a1+a3

2

=

a1+4

2

＞2，∴b₂=2a2＞4；
∴②正确．
对于③，等差数列{a_n}中，0＜a₁＜2，a₃=4，∴公差d∈（1，2），
∴a₄=a₃+d＞5，∴b₄=2a4＞2⁵=32；
∴命题③正确．
对于④，∵b₂b₄=b32=(2a3)2=（2⁴）²=256，∴命题④正确．
综上，以上命题正确的是4个．
故选：D．