Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n²-2S_n-a_nS_n+1=0，n=1，2，3，…．
（1）求a₁，a₂；
（2）求S_n的表达式．

Answer 1

（1）当n=1时，由已知得

a

21

-2a1-

a

21

+1=0，解得a1=

1

2

．
同理，可解得a2=

1

6

．
（2）由题设S_n²-2S_n+1-a_nS_n=0，当n≥2（n∈N^*）时，a_n=S_n-S_n-1，
代入上式，得S_n-1S_n-2S_n+1=0．（*）
由（1）可得S1=a1=

1

2

，S2=a1+a2=

1

2

+

1

6

=

2

3

．由（*）式可得S3=

3

4

．
由此猜想：Sn=

n

n+1

(n∈N*)（8分）
证明：①当n=1时，结论成立．②假设当n=k（k∈N^*）时结论成立，
即Sk=

k

k+1

，那么，由（*）得Sk+1=

1

2-Sk

，∴Sk+1=

1

2- k k+1

=

k+1

k+2

．
所以当n=k+1时结论也成立，根据①和②可知，Sn=

n

n+1

对所有正整数n都成立．因Sn=

n

n+1

．