Question

【题目】已知函数f（x）= ，曲线f（x）= 在点（e，f（e））处的切线与直线e2x﹣y+e=0垂直．（注：e为自然对数的底数） （Ⅰ）若函数f（x）在区间（m，m+1）上存在极值，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）求证：当x＞1时， ＞ ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） 因为f（x）= ，所以f′（x）= ，（1分） 又据题意，得f′（e）=﹣ ，所以﹣ =﹣ ，所以a=1．
所以f（x）= ，所以f′（x）=﹣ （x＞0）．
当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为减函数．
所以函数f（x）仅当x=1时，取得极值．
又函数f（x）在区间（m，m+1）上存在极值，
所以m＜1＜m+1，所以0＜m＜1．
故实数m的取值范围是（0，1）．
（Ⅱ）证明：当x＞1时， ＞ ，即为 ＞＞ ，
令g（x）= ，则g′（x）= ，
再令φ（x）=x﹣ln x，则φ′（x）=1﹣ = ．
又因为x＞1，所以φ′（x）＞0．所以φ（x）在（1，+∞）上是增函数．
又因为φ（1）=1．所以当x＞1时，g′（x）＞0．所以g（x）在区间（1，+∞）上是增函数．
所以当x＞1时，g（x）＞g（1），又g（1）=2，故 ＞ ．
令h（x）= ，则h′（x）= ，
因为x＞1，所以 ＜0．所以当x＞1时，h′（x）＜0．
故函数h（x）在区间（1，+∞）上是减函数．又h（1）= ，
所以当x＞1时，h（x）＜ ，所以 ＞h（x），即 ＞ ．
【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，求出a的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出m的范围即可；（Ⅱ）问题转化为 ＞ ，令g（x）= ，令h（x）= ，根据函数的单调性证明即可．
【考点精析】利用函数的极值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．