Question

【题目】如图所示，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝，PA⊥PD，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1，O为AD中点．

(1)求B点到平面PCD的距离；

(2)线段PD上是否存在一点Q，使得二面角Q－AC－D的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）取中点为，连接，可以证明平面，，故可建立如图所示的空间直角系，计算出平面的法向量及后可得点到平面的距离．

设，用表示的坐标，从而平面的法向量也可以用表示，根据二面角的余弦值为可得到的值从而得到．

在中，， 为中点，∴.

又∵侧面底面，平面平面，平面，∴平面.

在中，，，∴.

在直角梯形中，为的中点，，∴.

以为坐标原点， 为轴，为轴， 为轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则，

(1)∴．

设平面的法向量为，

则即取，得．

则点到平面的距离.

(2)设 ．∵，∴，

∴，∴，∴ ．

设平面的法向量为，

则即，取，得．

平面的一个法向量为，

∵二面角的余弦值为，

∴.

整理化简，得.解得或 (舍去)，∴存在，且.