【题目】已知数列满足a1=2,an+1=3an+2,
(1)证明:是等比数列,并求的通项公式;
(2)证明: .
【答案】(1)证明见解析,;(2)证明见解析。
【解析】
(1)要证明数列是等比数列,应在an+1=3an+2中找到数列中两项之间的关系,用等比数列定义可证数列是等比数列。用等比数列的通项公式可得数列的通项公式,进而可得的通项公式。(2)由(1)可知,可知数列既不是等差数列也不是等比数列,所以用放缩法可得≤ ,进而可得++…+≤(1++…+),根据等比数列前n项和公式求和,即可证得结论。
(1)证明:由an+1=3an+2,
得an+1+1=3.
又a1+1=3,
所以是首项为3,公比为3的等比数列.
∴an+1=,
因此{an}的通项公式为an=
(2)解: 由(1)知,
因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,
所以≤
于是++…+≤(1++…+)=<.
所以++…+<.
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【题目】如图甲,在直角梯形PBCD中,PB∥CD,CD⊥BC,BC=PB=2CD,A是PB的中点.
现沿AD把平面PAD折起,使得PA⊥AB(如图乙所示),E、F分别为BC、AB边的中点.
(1)求证:平面PAE⊥平面PDE;
(2)在PE上找一点Q,使得平面BDQ⊥平面ABCD.
(3)在PA上找一点G,使得FG∥平面PDE.
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【题目】在下列结论中:
①若向量共线,则向量所在的直线平行;
②若向量所在的直线为异面直线,则向量一定不共面;
③若三个向量两两共面,则向量共面;
④已知空间的三个向量,则对于空间的任意一个向量总存在实数x,y,z使得.
其中正确结论的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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【题目】已知函数f(x)= ,曲线f(x)= 在点(e,f(e))处的切线与直线e2x﹣y+e=0垂直.(注:e为自然对数的底数) (Ⅰ)若函数f(x)在区间(m,m+1)上存在极值,求实数m的取值范围;
(Ⅱ)求证:当x>1时, > .
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【题目】如图,ABC﹣A1B1C1是底面边长为2,高为 的正三棱柱,经过AB的截面与上底面相交于PQ,设C1P=λC1A1(0<λ<1).、
(1)证明:PQ∥A1B1;
(2)当 时,求点C到平面APQB的距离.
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【题目】设集合A={x|﹣1≤x≤2},B={x|x2﹣x+(m﹣m2)<0}.
(1)当m< 时,化简集合B;
(2)p:x∈A,命题q:x∈B,且命题p是命题q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
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【题目】(本小题满分16分)平面直角坐标系xoy中,直线截以原点O为圆心的圆所得的弦长为
(1)求圆O的方程;
(2)若直线与圆O切于第一象限,且与坐标轴交于D,E,当DE长最小时,求直线的方程;
(3)设M,P是圆O上任意两点,点M关于x轴的对称点为N,若直线MP、NP分别交于x轴于点(m,0)和(n,0),问mn是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由。
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