Question

如图，AA₁、BB₁为圆柱OO₁的母线（母线与底面垂直），BC是底面圆O的直径，D、E分别是AA₁、CB₁的中点，DE⊥平面CBB₁．
（1）证明：AC⊥平面AA₁B₁B；
（2）证明：DE∥平面ABC；
（3）求四棱锥C-ABB₁A₁与圆柱OO₁的体积比．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知条件推导出CA⊥AB，AA₁⊥平面ABC，由此能证明CA⊥平面AA₁B₁B．
（2）连接EO、OA，得到EO∥BB₁，且EO=

1

2

BB1 ，由此能求出四边形AOED是平行四边形，由此能证明DE∥平面ABC．
（3）连接CA．由题知DE⊥平面CBB₁，由DE∥OA，知CA为四棱锥C-ABB₁A₁的高，由此能求出四棱锥C-ABB₁A₁与圆柱OO₁的体积比．

解答： （1）证明：∵BC是底面圆O的直径，∴CA⊥AB．
又AA₁是圆柱的母线，∴AA₁⊥平面ABC，
∴AA₁⊥CA，又AA₁∩AB=A，
∴CA⊥平面AA₁B₁B．…（4分）
（2）如图，连接EO、OA，∵E，O分别为CB₁、BC的中点，
∴EO是△BB₁C的中位线，∴EO∥BB₁，且EO=

1

2

BB1 ．
又DA∥BB₁，AA₁=BB₁，
故DA=

1

2

BB1=EO，∴DA∥EO，且DA=EO，
∴四边形AOED是平行四边形，即DE∥OA，
又DE不包含平面ABC，OA?平面ABC，
∴DE∥平面ABC．…（8分）
（3）如图，连接CA．由题知DE⊥平面CBB₁，
且由（2）知DE∥OA，
∴AO⊥平面CBB₁，∴AO⊥BC，
∴AC=AB=

2

OA．
由（1）知CA为四棱锥C-ABB₁A₁的高．
设圆柱高为h，底面半径为r，
则V圆柱=πr2h，VC-ABB1A1=

1

3

h(

2

r)•(

2

r)=

2

3

hr2，
∴VC-ABB1A1：V圆柱=

2 3 hr2

πr2h

=

2

3π

．…（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，考查棱锥与圆柱体积的比的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．