Question

【题目】类似于平面直角坐标系，我们可以定义平面斜坐标系：设数轴的交点为，与轴正方向同向的单位向量分别是，且与的夹角为，其中。由平面向量基本定理，对于平面内的向量，存在唯一有序实数对，使得，把叫做点在斜坐标系中的坐标，也叫做向量在斜坐标系中的坐标。在平面斜坐标系内，直线的方向向量、法向量、点方向式方程、一般式方程等概念与平面直角坐标系内相应概念以相同方式定义，如时，方程表示斜坐标系内一条过点(2,1)，且方向向量为(4,-5)的直线。

（1）若， ，且与的夹角为锐角，求实数m的取值范围；

（2）若，已知点和直线 ①求l的一个法向量；②求点A到直线l的距离。

Answer 1

【答案】（1）（2）.

【解析】

（1）根据条件，，根据夹角为锐角，得出>0，从而得出同向时，可得到存在t，使得，从而求出m＝12，这样即可得出实数m的取值范围；

（2）①先把直线l的方程写成，从而得出直线l的方向向量为，可设法向量为，可由即可得到5a+7b＝0，从而可取a＝﹣7，b＝5，从而得出l的一个法向量为;

②可取直线l上一点B（0，2），从而得到，从而得出点A到直线l的距离为.

（1）由已知，且=2m+6+（12+m）( )= ，得 ;

若和同向，则存在正数t，使得 ,

由和不平行得， 得m=12，

故所求为;

（2）①方程可变形为，方向向量为,

设法向量为，由 得,

令;

②取直线上一点B(0,2)，则 ，所求为