Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹．
（I）求证：（）是等差数列，并求出数列的{a_n}通项公式；
（II）数列{b_n}满足b_n=log₂求使不等式（1+）（1+）…（1+）≥m•对任意正整数n都成立的最大实数m的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，得S_n-1=2a_n-1-2ⁿ（n≥2）．
两式相减，得a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ，即a_n-2a_n-1=2ⁿ （n≥2），（2分）
∴，故数列{}是公差为1的等差数列，（4分）
又S₁=2a₁-2²．则a₁=4，∴，
故a_n=（n+1）+2ⁿ．（6分）
（Ⅱ）∵b_n=log₂=，（7分）
不等式（1+）（1+）…（1+）≥m•，
即（1+1）（1+）…（1+）≥m•恒成立，
也即对任意正整数n都成立．（8分）
令，知，
∵=，
∴当n∈N^*时，f（n）单调递增，（10分）
∴f（n）≥f（1）=，则m，故实数m的最大值为．（12分）
分析：（Ⅰ）利用S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，与S_n-1=2a_n-1-2ⁿ（n≥2）．推出a_n-2a_n-1=2ⁿ （n≥2），然后证明数列{}是公差为1的等差数列，即可求出数列的通项公式．
（Ⅱ）利用b_n=log₂，求出表达式，化简不等式（1+）（1+）…（1+）≥m•，通过令，比较的大小，说明f（n）单调递增，然后求出实数m的最大值．
点评：本题考查等差关系的确定，数列求和的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．