Question

设函数y=x²-2x+2的图象为C₁，函数y=-x²+ax+b的图象为C₂，已知过C₁和C₂的一个交点的两切线互相垂直
（1）求a，b之间的关系；
（2）求ab的最大值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）首先，设出交点的坐标，然后，根据导数，利用垂直关系建立等式求解即可；
（2）直接根据基本不等式进行求解．

解答： 解：（1）设公共点坐标为（x₀，y₀）
C₁：y=x²-2x+2，y'=2x-2，该点斜率k₁=2x₀-2
C₂：y=-x²+ax+b，y'=-2x+a，该点斜率k₂=-2x₀+a
即k₁k₂=-1
∴（2x₀-2）（-2x₀+a）=-1，
又x₀²-2x₀+2=-x₀²+ax₀+b
上两式消去x₀，得
a+b=

3

2

，
（2）∵a＞0，b＞0，a+b=

3

2

，
∵a+b≥2

ab

，
∴

ab

≤

3

4

∴ab≤

9

16

，
ab的最大值

9

16

．

点评：本题重点考查了二次函数的性质、二次函数的导数、切线方程及其求解方法等，属于中档题．