Question

（2013•泉州模拟）已知ω＞0，函数f（x）=sinωx•cosωx+

3

sin2ωx-

3

2

的最小正周期为π．
（Ⅰ）试求w的值；
（Ⅱ）在图中作出函数f（x）在区间[0，π]上的图象，并根据图象写出其在区间[0，π]上的单调递减区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用倍角公式和两角差的正弦公式即可化简函数f（x）=sinωx•cosωx+

3

sin2ωx-

3

2

=

1

2

sin2ωx-

3

2

cos2ωx=sin(2ωx-

π

3

)，再利用周期公式即可得出ω．
（II）利用f(x)=sin(2x-

π

3

)，x∈[0，π]，找出区间端点、最大值点、最小值点及函数的零点并列对应值表，描点，并参照弦形曲线的走向特征，用光滑曲线把各对应点顺次联结起来画图，得函数f（x）在区间[0，π]上的图象及其单调递减区间．

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=sinωx•cosωx+

3

sin2ωx-

3

2

=

1

2

sin2ωx-

3

2

cos2ωx=sin(2ωx-

π

3

)．
因为函数f（x）的最小正周期为T=

2π

|ω|

=π，且ω＞0，
所以ω=1．
（Ⅱ）因为f(x)=sin(2x-

π

3

)，x∈[0，π]．
列对应值表：

x	0	π 6	5π 12	2π 3	11π 12	π
2x- π 3	- π 3	0	π 2	π	3π 2	5π 3
f（x）	- 3 2	0	1	0	-1	- 3 2

描点，并参照弦形曲线的走向特征，用光滑曲线把各对应点顺次联结起来画图，得函数f（x）在区间[0，π]上的图象如图所示．
根据图象可得单调递减区间为[

5π

12

，

11π

12

]．

点评：本小题主要考查三角恒等变型、三角函数的图象和性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想等．