Question

如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC，，∠BCA=90°，PB=BC，E为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且AF=2FP．
（I）求证：BE⊥平面PAC；
（II）求证：CM∥平面BBF．

Answer 1

证明：（1）∵PB⊥底面ABC，且AC?平面ABC
∴AC⊥PB．
由∠BCA=90°，得AC⊥BC
又∵PB∩BC=B
∴AC⊥平面PBC
∵BE?平面PBC
∴AC⊥BE
∵PB=BC，E为PC中点
∴BE⊥PC
又∵PC∩AC=C
∴BE⊥平面PAC
（2）取AF的中点G，连接CG、GM
∵FA=2FP
∴GF=AF=FP
又∵E为PC中点
∴EF∥CG
∵CG?平面BEF，EF?平面BEF
∴CG∥平面BEF
同理可证：GM∥平面BEF
又∵CG∩GM=G
∴平面CMG∥平面BEF
∵CM?平面CGM
∴CM∥平面BEF．
分析：（1）证CA⊥平面PBC，可得BE⊥AC，由E为PC中点，且PB=BC得BE⊥平面PAC；
（2）取AF中点N，连接CN，MN，证平面MNC∥平面BEF，即能证得CM∥平面BBF．
点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理及性质、直线与平面平行的证明方法，解题中要注意空间各种关系的相互转化．