Question

已知椭圆C：+=1 （a＞b＞0）以双曲线的焦点为顶点，其离心率与双曲线的离心率互为倒数．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C的左、右顶点分别为点A，B，点M是椭圆C上异于A，B的任意一点．
①求证：直线MA，MB的斜率之积为定值；
②若直线MA，MB与直线x=4分别交于点P，Q，求线段PQ长度的最小值．

Answer 1

解：（1）易知双曲线的焦点为（-2，0），（2，0），离心率为，
则在椭圆C中a=2，e=，故在椭圆C中c=，b=1，∴椭圆C的方程为．
（2）①设M（x₀，y₀）（x₀≠±2），由题易知A（-2，0），B（2，0），则k_MA=，k_MB=，
∴k_MA•k_MB==，
∵点M在椭圆C上，∴，即=-，故k_MA•k_MB=，即直线MA，MB的斜率之积为定值．
②设P（4，y₁），Q（4，y₂），则k_MA=k_PA=，k_MB=k_BQ=，
由①得，即y₁y₂=-3，当y₁＞0，y₂＜0时，|PQ|=|y₁-y₂|≥2=2，当且仅当y₁=，y₂=-时等号成立．
同理，当y₁＜0，y₂＞0时，当且仅当y₁=-，y₂=时，|PQ|有最小值2．
分析：（1）利用椭圆、双曲线的标准方程及其性质即可得出；
（2）①利用点在椭圆上、斜率计算公式即可证明；
②利用①的结论、斜率计算公式、基本不等式的性质即可求出．
点评：数列掌握圆锥曲线的定义、标准方程及其性质、斜率计算公式、基本不等式的性质是解题的关键．善于利用已经证明的结论是常用的方法之一．