Question

已知f（x）=ax²+bx+c，（0＜2a＜b），?x∈R，f（x）≥0恒成立，则

f(1)

f(0)-f(-1)

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由二次函数的性质得c≥

b2

4a

，代入化简

f(1)

f(0)-f(-1)

得：

f(1)

f(0)-f(-1)

≥

4+4• b a +( b a )2

4• b a -4

，设t=

b

a

，由0＜2a＜b得t＞2，利用基本不等式的性质就能求得最小值．

解答： 解：因为?x∈R，f（x）=ax²+bx+c≥0恒成立，0＜2a＜b，
所以

0＜2a＜b △=b2-4ac≤0

，得b²≤4ac，
又0＜2a＜b，所以c≥

b2

4a

，
所以

f(1)

f(0)-f(-1)

=

a+b+c

c-(a-b+c)

=

a+b+c

b-a

≥

a+b+ b2 4a

b-a

=

4a2+4ab+b2

4a(b-a)

=

4a2+4ab+b2

4ab-4a2

=

4+4• b a +( b a )2

4• b a -4

，
设t=

b

a

，由0＜2a＜b得，t＞2，
则

f(1)

f(0)-f(-1)

≥

4+4t+t2

4(t-1)

=

(t-1)2+6(t-1)+9

4(t-1)

=

1

4

[（t-1）+

9

t-1

+6]≥

1

4

×(6+6)=3，
当且仅当t-1=

9

t-1

时取等号，此时t=4，

f(1)

f(0)-f(-1)

取最小值是3，
故答案为：3．

点评：本题主要考查二次函数的性质，基本不等式的应用，以及换元法，式子的变形是解题的关键和难点，属于难题．