Question

6．2022年第19届亚运会将在中国杭州举行，为使我国运动员能夺得首项金牌，组委会将我国运动员的某强项设置为产生金牌的第一个项目．已知我国参加该项目有甲、乙、丙3名运动员，他们能获得奖牌的概率依次为$\frac{4}{5}$，$\frac{3}{5}$，$\frac{3}{5}$，能获得金牌的概率依次为$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$．
（Ⅰ）求我国运动员能获得首项金牌的概率；
（Ⅱ）求我国运动员获得的奖牌数X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）我国运动员能获得首项金牌的对立事件是甲、乙、丙三人都没有获得金牌，由此利用对立事件概率计算公式能求出我国运动员能获得首项金牌的概率．
（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出我国运动员获得的奖牌数X的分布列和数学期望．

解答 解：（Ⅰ）我国运动员能获得首项金牌的对立事件是甲、乙、丙三人都没有获得金牌，
∴我国运动员能获得首项金牌的概率：
p=1-（1-$\frac{1}{2}$）（1-$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{3}$）=$\frac{7}{9}$．
（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=（1-$\frac{4}{5}$）（1-$\frac{3}{5}$）²=$\frac{4}{125}$，
P（X=1）=$\frac{4}{5}×（1-\frac{3}{5}）^{2}+$${C}_{2}^{1}×\frac{3}{5}×（1-\frac{3}{5}）^{\;}×（1-\frac{4}{5}）$=$\frac{28}{125}$，
P（X=2）=${C}_{2}^{1}（\frac{3}{5}）（1-\frac{3}{5}）×\frac{4}{5}$+（1-$\frac{4}{5}$）×$（\frac{3}{5}）^{2}$=$\frac{57}{125}$，
P（X=3）=$\frac{4}{5}×（\frac{3}{5}）^{2}$=$\frac{36}{125}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{4}{125}$	$\frac{28}{125}$	$\frac{57}{125}$	$\frac{36}{125}$

E（X）=$0×\frac{4}{125}+1×\frac{28}{125}+2×\frac{57}{125}+3×\frac{36}{125}$=2．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．