Question

17．在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c．若a=2，$\frac{tanA}{tanB}$=$\frac{4}{3}$，则△ABC面积的最大值为$\frac{7}{4}$．

Answer 1

分析 根据商的关系化简已知的式子，由正弦、余弦定理分别化简后，结合条件求出b、c的关系，由条件和余弦定理求出cosC，由平方关系求出sinC，代入三角形的面积公式表示出△ABC面积，利用配方法化简后利用一元二次函数的性质求出△ABC面积的最大值．

解答 解：由$\frac{tanA}{tanB}=\frac{4}{3}$得3tanA=4tanB，则$3•\frac{sinA}{cosA}=4•\frac{sinB}{cosB}$，
∴3sinAcosB=4cosAsinB，则由正弦、余弦定理得，
3a•$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=4b•$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，
化简得c²=7a²-7b²，
又a=2，则c²=7（4-b²），则0＜b²＜4，
由余弦定理和条件得，
cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{4+{b}^{2}-7（4-{b}^{2}）}{4b}$=$\frac{2{b}^{2}-6}{b}$，
∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\sqrt{1-（\frac{2{b}^{2}-6}{b}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{{-4b}^{4}+25{b}^{2}-36}}{b}$，
∴△ABC面积S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×2×\frac{\sqrt{{-4b}^{4}+25{b}^{2}-36}}{b}$
=$\sqrt{-4{b}^{4}+25{b}^{2}-36}$=$\sqrt{-4（{b}^{2}-\frac{25}{8}）^{2}+\frac{49}{16}}$，
∵0＜b²＜4，∴当b²=$\frac{25}{8}$时，$\sqrt{-4{（{b}^{2}-\frac{25}{8}）}^{2}+\frac{49}{16}}$有最大值是$\frac{7}{4}$，
则△ABC面积的最大值为$\frac{7}{4}$，
故答案为：$\frac{7}{4}$．

点评 本题考查正弦、余弦定理的综合应用，同角三角函数的基本关系，以及一元二次函数的性质，熟练掌握公式和定理是解题的关键．