Question

已知函数f(x)=ax+

b

x-1

-a(a∈R，a≠0)在x=3处的切线方程为（2a-1）x-2y+3=0
（1）若g（x）=f（x+1），求证：曲线g（x）上的任意一点处的切线与直线x=0和直线y=ax围成的三角形面积为定值；
（2）若f（3）=3，是否存在实数m，k，使得f（x）+f（m-x）=k对于定义域内的任意x都成立；

Answer 1

（1）因为f′(x)=a-

b

(x-1)2

，所以f′(3)=a-

b

4

=

2a-1

2

，b=2（2分）
又g(x)=f(x+1)=ax+

2

x

.
设g（x）图象上任意一点P（x₀，y₀），因为g′(x)=a-

2

x2

，
所以切线方程为y-(ax0+

2

x0

)=(a-

2

x20

)(x-x0).（4分）
令x=0，得y=

4

x0

；再令y=ax，得x=2x₀，
故三角形面积S=

1

2

•|

4

x0

|•|2x0|=4，即三角形面积为定值．（6分）

（2）由f（3）=3得a=1，f(x)=x+

2

x-1

-1
假设存在m，k满足题意，则有x-1+

2

x-1

+m-x-1+

2

m-x-1

=k，
化简，得

2(m-2)

(x-1)(m-x-1)

=k+2-m对定义域内任意x都成立，（8分）
故只有

m-2=0 k+2-m=0.

解得

m=2 k=0.

所以存在实数m=2，k=0，使得f（x）+f（m-x）=k对定义域内的任意x都成立．（12分）．