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如图,四棱柱ABCDA1B1C1D1中,侧棱A1A底面ABCDABDCABADADCD1AA1AB2E为棱AA1的中点.

(1)证明B1C1CE

(2)求二面角B1-CE-C1的正弦值;

(3)设点M在线段C1E上,且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为,求线段AM的长.

 

(1)见解析 (2) (3)

【解析】向量法

如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,依题意得A(0,0,0)B(0,0,2)C(1,0,1)B1(0,2,2)C1(1,2,1)E(0,1,0)

(1)证明:易得(1,0,-1)(1,1,-1),于是·0,所以B1C1CE.

(2) (1,-2,-1)

设平面B1CE的法向量m(xyz)

消去x,得y2z0,不妨令z1,可得一个法向量为m(3,-2,1)

(1)B1C1CE,又CC1B1C1,可得B1C1平面CEC1,故(1,0,-1)为平面CEC1的一个法向量.

于是cosm〉==-,从而sinm〉=,所以二面角B1CEC1的正弦值为.

(3) (0,1,0)(1,1,1),设λ(λλλ)0≤λ≤1,有(λλ1λ).可取(0,0,2)为平面ADD1A1的一个法向量.

θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角,则

sin θ|cos|

于是,解得λ,所以AM.

综合法

(1)证明 因为侧棱CC1底面A1B1C1D1B1C1?平面A1B1C1D1,所以CC1B1C1.经计算可得B1EB1C1EC1,从而B1E2B1E,所以在B1EC1中,B1C1C1E,又CC1C1E?平面CC1ECC1C1EC1,所以B1C1平面CC1E,又CE?平面CC1E,故B1C1CE.

(2)解 过B1B1GCE于点G,连接C1G.(1)B1C1CE,故CE平面B1C1G,得CEC1G,所以B1GC1为二面角B1-CE-C1的平面角.在CC1E中,由CEC1ECC12,可得C1G.

RtB1C1G中,B1G,所以sin B1GC1,即二面角B1-CE-C1的正弦值为.

(3)解 连接D1E,过点MMHED1于点H,可得MH平面ADD1A1,连接AHAM,则MAH为直线AM与平面ADD1A1所成的角.设AMx,从而在RtAHM中,有MHxAHx.RtC1D1E中,C1D11ED1,得EHMHx.

AEH中,AEH135°AE1

AH2AE2EH22AE·EHcos 135°,得x21x2x,整理得5x22x60,解得x.

所以线段AM的长为.

 

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