Question

1．已知函数f（x）=|1-2x|-|x-1|
（1）求不等式f（x）＞0的解集；
（2）若对任意x∈R，f（x）＞a恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）转化函数为分段函数，把关于x的不等式f（x）＞0转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）利用绝对值不等式求得f（x）的最小值，即可求得a的范围．

解答 解：（1）当x＜$\frac{1}{2}$时，不等式f（x）＞0可化为：-x＞0，得x＜0，故x＜0；
当$\frac{1}{2}$≤x≤1时，3x-2＞0，得x＞$\frac{2}{3}$，故$\frac{2}{3}$＜x≤1；
当x＞1时，x＞0，得x＞1，可得x＞1；
综上，不等式的解集为：{x|x＜0或x＞$\frac{2}{3}$}．
（2）由（1）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-x，x＜\frac{1}{2}\\ 3x-2，\frac{1}{2}≤x≤1\\ x，x＞1\end{array}\right.$，
可知，f_min（x）=f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$．
若存在x∈R，使得f（x）＞a成立，则实数a＜-$\frac{1}{2}$，
实数m的取值范围：（-∞，-$\frac{1}{2}$）．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值不等式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．