Question

16．若a＞0，b＞0，求证：a^bb^a≤（ab）${\;}^{\frac{a+b}{2}}$．

Answer 1

分析 利用分析、综合法，即可证明结论．

解答 证明：要证明a^bb^a≤（ab）${\;}^{\frac{a+b}{2}}$，
只要$（\frac{a}{b}）^{\frac{b-a}{2}}$≤1，
a＞b＞0，则$\frac{a}{b}$＞1，b-a＜0，∴$（\frac{a}{b}）^{\frac{b-a}{2}}$＜1；
0＜a＜b，则0＜$\frac{a}{b}$＜1，b-a＞0，∴$（\frac{a}{b}）^{\frac{b-a}{2}}$＜1；
a=b＞0，则$\frac{a}{b}$=1，b-a=0，∴$（\frac{a}{b}）^{\frac{b-a}{2}}$=1．
∴$（\frac{a}{b}）^{\frac{b-a}{2}}$≤1，
∴a^bb^a≤（ab）${\;}^{\frac{a+b}{2}}$．

点评 本题考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．