Question

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（

π

4

，0），将函数f（x）图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），在将所得图象向右平移

π

2

个单位长度后得到函数g（x）的图象．
（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；
（2）是否存在x₀∈（

π

6

，

π

4

），使f（x₀），g（x₀），f（x₀）g（x₀）按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x₀的个数；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）依题意，可求得ω=2，φ=

π

2

，利用三角函数的图象变换可求得g（x）=sinx；
（2）依题意，当x∈（

π

6

，

π

4

）时，

1

2

＜sinx＜

2

2

，0＜cosx＜

1

2

，sinx＞cos2x＞sinxcos2x，问题转化为方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（

π

6

，

π

4

）内是否有解．通过G′（x）＞0，可知G（x）在（

π

6

，

π

4

）内单调递增，而G（

π

6

）＜0，G（

π

4

）＞0，从而可得答案．

解答：解：（1）∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，
∴ω=

2π

T

=2，
又曲线y=f（x）的一个对称中心为（

π

4

，0），φ∈（0，π），
故f（

π

4

）=sin（2×

π

4

+φ）=0，得φ=

π

2

，所以f（x）=cos2x．
将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y=cosx的图象，
再将y=cosx的图象向右平移

π

2

个单位长度后得到函数g（x）=cos（x-

π

2

）的图象，
∴g（x）=sinx．
（2）当x∈（

π

6

，

π

4

）时，

1

2

＜sinx＜

2

2

，0＜cosx＜

1

2

，
∴sinx＞cos2x＞sinxcos2x，
问题转化为方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（

π

6

，

π

4

）内是否有解．
设G（x）=sinx+sinxcos2x-cos2x，x∈（

π

6

，

π

4

），
则G′（x）=cosx+cosxcos2x+2sin2x（2-sinx），
∵x∈（

π

6

，

π

4

），∴G′（x）＞0，G（x）在（

π

6

，

π

4

）内单调递增，
又G（

π

6

）=-

1

4

＜0，G（

π

4

）=

2

2

＞0，且G（x）的图象连续不断，
故可知函数G（x）在（

π

6

，

π

4

）内存在唯一零点x₀，
即存在唯一零点x₀∈（

π

6

，

π

4

）满足题意

点评：本题考查同角三角函数基本关系，三角恒等变换，三角函数的图象与性质，考查函数、函数的导数、函数的零点等基础知识，考查运算求解能力，抽象概括能力，推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想．